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七天国际官方网 - 经典证明:几乎所有有理数都是无理数的无理数次方

2019-12-26 21:17:32

来源:蛟龙网

一个无理数的无理数次方是否有可能是一个有理数?如果这个数是有理数,问题就已经解决了。如果这个数是无理数,那么就有:我们同样会得到一个无理数的无理数次方是有理数的例子。这是一个典型的非构造性证明的例子:我们证明了无理数的无理数次方有可能等于有理数,但却并没有给出一个确凿的例子。最近, stan dolan 证明了这样一个结论:事实上,几乎所有 里的有理数都是某个无理数 a 的 a 次方。

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七天国际官方网,一个无理数的无理数次方是否有可能是一个有理数?这是一个非常经典的老问题了。答案是肯定的,证明方法非常巧妙:考虑根号 2 的根号 2 次方。如果这个数是有理数,问题就已经解决了。如果这个数是无理数,那么就有:

我们同样会得到一个无理数的无理数次方是有理数的例子。

这是一个典型的非构造性证明的例子:我们证明了无理数的无理数次方有可能等于有理数,但却并没有给出一个确凿的例子。毕竟我们也不知道,真实情况究竟是上述推理中的哪一种。那么,真实情况究竟是上述推理中的哪一种呢? gelfond-schneider 定理告诉我们,假设 α 和 β 都是代数数,如果 α 不等于 0 和 1 ,并且 β 不是有理数,那么 α 的 β 次方一定是超越数。根据这一定理我们可以立即看出,根号 2 的根号 2 次方真的是一个无理数,实际情况应该是上述推理中的后者。

那么,是否存在一个无理数 a ,使得 a 的 a 次方是有理数呢?最近, stan dolan 证明了这样一个结论:事实上,几乎所有 (1, ∞) 里的有理数都是某个无理数 a 的 a 次方。

注意到当 x 大于 1 时,函数 f(x) = x^x 是连续单调递增的,因而对于所有 (1, ∞) 里的有理数 r ,一定存在唯一的 a ,使得 a^a = r 。不妨假设 a 是一个有理数,它的最简分数形式是 n / m 。如果 m = 1 ,那么我们会有平凡解 n^n = r 。下面我们证明, m 是不可能大于 1 的,否则会产生矛盾。

假设有理数 r 的最简分数形式是 c / b ,于是我们有:

或者说:

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